Lý thuyết Galois nghiên cứu mở rộng đại số của trường bằng cách xem xét sự đối xứng trong những phép toán cộng và nhân. Một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực này là mở rộng Galois hữu hạn F / E, mà theo định nghĩa là tách được và chuẩn tắc. Định lý phần tử nguyên thủy chỉ ra rằng mở rộng hữu hạn tách được là đơn giản, tức là nó có dạng

trong đó f là một đa thức bất khả quy.[42] Với mở rộng như vậy, việc chuẩn tắc và tách được nghĩa là tất cả nghiệm của f nằm trong F và f chỉ có nghiệm đơn giản. Điều kiện sau luôn được thỏa mãn nếu trường E có đặc số 0.

Với một mở rộng Galois hữu hạn, nhóm Galois Gal(F/E) là nhóm của những phép tự đẳng cấu trường của F mà tầm thường trên E (tức là những song ánh σ : F → F giữ nguyên phép cộng và phép nhân và biến những phần tử của E thành chính nó). Tầm quan trọng của nhóm này bắt nguồn từ định lý cơ bản của lý thuyết Galois, đã xây dựng một tương ứng một-một giữa tập các nhóm con của Gal(F/E) và tập những mở rộng trung gian của mở rộng F/E.[43] Bằng tương ứng này, những tính chất của nhóm biến thành những tính chất của trường. Ví dụ, nếu nhóm Galois của một mở rộng Galois trên không giải được (không thể xây dựng từ nhóm giao hoán), thì các nghiệm của f không thể biểu diễn dưới dạng tổng, tích hay khai căn. Ví dụ, nhóm đối xứng Sn không giải được với n ≥ 5. Hệ quả là nghiệm của những phương trình sau không biểu diễn được thành tổng, tích hay căn. Với đa thức thứ hai, kết quả này được biết là định lý Abel–Ruffini:

Tích tensor của trường thường không phải là một trường. Ví dụ, mở rộng hữu hạn F / E với bậc n là một mở rộng Galois khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu của các đại số F:

Kết quả này đã bắt đầu cho lý thuyết Galois của Grothendieck, một mở rộng của lý thuyết Galois có tầm ảnh lớn.[45]